dissabte, 13 d’agost de 2011

Genètica estructural: el nombre auri Phi ( φ )

El nombre auri o nombre phi, representat amb la lletra grega φ en honor a l'escultor grec Fidias, és un concepte matemàtic que fa referència a una curiosa proporció entre segments de línies rectes que pot observar-se a la naturalesa (flors, fulles, branques, arrels, mol·luscs, esteles de mar, estructures de corall, cristalls de roca, flocs de neu, proporció ideal entre les parts del cos humà, etc...) i en certes figures geomètriques (triangle, cercle, quadrat, rectangle, estel, el·lipse, rombe, cub, esfera, pentàgon, tetràedre, octàedre, icosàedre, dodecàedre, etc..). És un nombre algebraic irracional, un decimal infinit no periòdic, que no pot ser reduït ni fraccionat.

Fou descrit i estudiat per primera vegada per Euclides cap a l'any 300 a. C. A l'Edat Mitjana se li va atribuir un caràcter estètic i diví considerant perfectes les proporcions que seguien els principis del nombre auri. La seva fórmula matemàtica és φ = 1 + √5 / 2 = 1´6180339887.......fins a l'infinit. L´Arrel quadrada de 5 és també un nombre algebraic irracional amb un valor infinit.

 
φ = AC / BC = 1´61803.
En aquesta flor de Potentilla reptans és molt fàcil trobar el nombre auri unint amb línies rectes les escotadures de cadascun dels seus cinc pètals dibuixant un pentàgon regular. Després basta traçar una altra línia recta unint les escotadures de dos pètals no contiguus i obtenim els dos valors per a calcular el nombre auri. De vegades el nombre obtingut no és exacte encara que molt aproximat. Per a afinar més el resultat es poden obtenir els valors de cadascun dels cinc angles del pentàgon i treure la mitjana, amb el que s'obté un nombre auri pràcticament exacte.

φ = AB / BC = 1´61803.
En aquesta flor d´Eruca sativa és també molt fàcil trobar dos valors per a calcular el nombre auri. En tenir quatre pètals idèntics basta dibuixar una línia recta unint cada dos pètals amb el que s'obté un quadrat perfecte. Després s'uneixen els quatre costats del quadrat amb dues línies que es creuin al centre de la flor i s'obtenen quatre quadrats idèntics més petits. Traçant una línia en diagonal que vagi des de l'angle d'un quadrat fins a l'angle oposat d'un quadrat contiguu s'obté el primer valor AB. L'altre valor BC s'obté dibuixant una línia diagonal que uneixi dos angles oposats d'un mateix quadrat.

φ = AB / BC = 1´61803.
Aquesta petita flor d´Ophrys speculum té la bellesa mística atribuïda pels matemàtics a les formes que compleixen amb les proporcions del nombre auri. Fou molt senzill trobar dos valors per a calcular-lo amb una exactitud sorprenent.

Les propietats i possibles aplicacions d'aquest nombre euclidià han estat profusament estudiades pels matemàtics des del segle divuit fins a l'actualitat, donant lloc a diversos teoremes, equacions i fórmules matemàtiques, com el famós Teorema de Kolmogórov–Arnold–Moser o teorema KAM.

S'ha trobat una estreta relació entre el nombre auri i la Seqüència de Fibonacci. Tots dos conceptes matemàtics estan àmpliament representats a la naturalesa.

φ = AB / CD = 1´61803.
Aquesta petita flor gairebé albina de Solenopsis balearica, endèmica de Mallorca, té també una estructura en la forma i distribució dels seus cinc pètals que sembla dissenyada per un matemàtic. Un simple traç unint els vèrtexs dels dos pètals laterals majors ens dóna el primer valor AB i un altre traç unint els vèrtexs dels dos pètals menors ens dóna l'altre valor CD. La senzillesa i la bellesa del disseny són sorprenents. El nombre auri obtingut és sorprenentment exacte.

φ = AB / AC = 1´61803. 
φ = AB / BC = 1´61803. 
Aquesta flor de lliri de mar, Pancratium maritimum, d'un blanc immaculat i una simetria perfecta compta amb un disseny que facilita molt trobar dos valors per a calcular el nombre auri. El primer valor AB s'obté unint amb una línia recta els vèrtexs de dos pètals oposats. Per a  trobar el segon valor es tracen dues línies que van des del vèrtex de cadascun dels dos pètals anteriors fins al vèrtex d'un pètal no contiguu. Aquestes dues línies es creuen en el punt C i formen una aspa amb dos braços llargs i dos braços curts. Cadascun dels braços llargs és el segon valor.
 
φ = AB / CD = 1´61803.
φ = CD / EF = 1´61803. 
A les fulles és una mica més complicat trobar dos valors que ens permetin obtenir un nombre auri exacte. No obstant això en aquesta fulla de romeguer canari, Rubus palmensis, les proporcions dels seus cinc folíols tenen uns valors decreixents que en dividir-los entre ells ens donen un resultat sorprenentment exacte.

φ = AC / AB = 1´61803.
 I finalment un altre exemple d'una planta canària, l´Hedera canariensis, fotografiada al bellíssim Bosque de Los Tiles de l´Illa de la Palma. Les seves fulles en forma de cor d'una simetria perfecta ens permeten trobar amb facilitat dues línies diagonals que en dividir-se entre elles ens donen el nombre auri, el nombre màgic de la bellesa divina i la perfecció.

Al llarg dels segles aquesta proporció matemàtica amb exemples tan abundants als éssers vius i a les roques ha estat utilitzada pels pintors, escultors i arquitectes per a realitzar les seves obres més belles en un afany per a plasmar l'ideal de perfecció, simetria i equilibri que tan sàviament dissenya la naturalesa.

 

3 comentaris:

  1. Quanta bellesa. Matemàtiques i plantes. Ignorant-ho tot d'aquesta matèria, sempre m'ha cridat molt la atenció. Una entrada molt instructiva. Gràcies.

    ResponElimina
  2. Joan,
    una vegada dibuixades les rectes, com calcules la mesura que fan, sobre la foto? amb la pantalla de l'ordinador?
    Fantàstica entrada, no puc afegir més que la natura és perfecte. Hi hagi o no hi hagi un creador.
    Salut!
    Rafel Mas

    ResponElimina
  3. Rafel, tenc un programa per a mesurar ses espores de ses falgueres en micres. Me va ser molt útil per a mesurar ses rectes.

    Salut!

    ResponElimina